📝 题目
2．（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）数列的有界性是数列收敛的**必要条件**，但不是充分条件。
**解释**： 若数列 $\{a_n\}$ 收敛，则它一定有界。但反之不成立，例如数列 $a_n = (-1)^n$ 是有界的（$|a_n| \le 1$），但它不收敛。因此有界性是收敛的必要条件。
（2）**无界数列一定发散**。
**解释**： 若数列无界，则它不可能收敛。因为收敛数列必有界（收敛数列的有界性定理），所以无界数列必然发散。
（3）**有界数列不一定收敛**。
**解释**： 例如 $a_n = (-1)^n$ 有界但不收敛。又如 $a_n = \sin n$ 也有界（$|\sin n| \le 1$），但也不收敛。因此有界性不能保证收敛。