📝 题目
3．下列关于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限是 $a$ 的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $x_{n}-a\lt \varepsilon$ 成立； （2）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，有无穷多项 $x_{n}$ ，使不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （3）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt c \varepsilon$ 成立，其中 $c$ 为某个正常数； （4）对于任意给定的 $m \in \mathbf{N}_{+}$，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \frac{1}{m}$ 成立．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们来逐一分析每个定义是否正确。
**（1）** 定义：对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $x_{n}-a\lt \varepsilon$ 成立。
**判断：错误。** 理由：极限定义要求的是 $|x_n - a| < \varepsilon$，即同时要求 $x_n - a > -\varepsilon$ 和 $x_n - a < \varepsilon$。这里只要求单侧小于 $\varepsilon$，无法控制 $x_n$ 从下方远离 $a$ 的情况。 反例：取 $x_n = -n$，$a=0$，则对任意 $\varepsilon>0$，当 $n$ 充分大时 $x_n - a = -n < \varepsilon$ 成立，但显然 $x_n$ 不趋于 $0$。
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**（2）** 定义：对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，有无穷多项 $x_{n}$ ，使不等式 $|x_n - a| < \varepsilon$ 成立。
**判断：错误。** 理由：极限定义要求当 $n>N$ 时，**所有**项都满足 $|x_n - a|<\varepsilon$，而不仅仅是无穷多项。无穷多项满足条件不能保证后面所有项都满足。 反例：考虑数列 $$ x_n = \begin{cases} 0, & n \text{为偶数},\\ n, & n \text{为奇数}. \end{cases} $$ 取 $a=0$，对任意 $\varepsilon>0$，取 $N$ 任意，当 $n>N$ 时，所有偶数项满足 $|x_n-0|=0<\varepsilon$，有无穷多项满足，但奇数项趋于无穷，数列不收敛于 $0$。
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**（3）** 定义：对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $|x_n - a| < c\varepsilon$ 成立，其中 $c$ 为某个正常数。
**判断：正确。** 理由：因为 $c>0$ 是固定常数，对任意给定的 $\varepsilon>0$，令 $\varepsilon' = c\varepsilon$，则 $\varepsilon'$ 也可以取任意小的正数（因为 $\varepsilon$ 任意小）。因此该定义等价于标准定义： $$ \forall \varepsilon'>0, \exists N, \forall n>N: |x_n-a|<\varepsilon'. $$ 所以这是正确的。
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**（4）** 定义：对于任意给定的 $m \in \mathbf{N}_{+}$，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $|x_n - a| < \frac{1}{m}$ 成立。
**判断：正确。** 理由：$\frac{1}{m}$ 可以取任意小的正数（因为 $m$ 可以任意大），这等价于标准定义中 $\varepsilon$ 取形如 $\frac{1}{m}$ 的正数。由于 $\varepsilon$ 的任意性可以用这些特殊值代替（因为对任意 $\varepsilon>0$，总存在 $m$ 使 $\frac{1}{m}<\varepsilon$），所以该定义正确。
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**最终答案：** （1）错；（2）错；（3）对；（4）对。