📝 题目
＊4．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的一般项 $x_{n}=\frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{2}$ ．问 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ ？求出 $N$ ，使当 $n\gt N$ 时，$x_{n}$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ．当 $\varepsilon=0.001$ 时，求出数 $N$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：求极限**
已知数列的一般项为 $$ x_n = \frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{2}. $$ 由于 $$ \left|\cos\frac{n\pi}{2}\right| \le 1, $$ 所以 $$ |x_n| \le \frac{1}{n}. $$ 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，由夹逼定理得 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 0. $$
**第二步：根据极限定义求 $N$**
对任意 $\varepsilon > 0$，要使 $$ |x_n - 0| = \left|\frac{1}{n} \cos\frac{n\pi}{2}\right| < \varepsilon, $$ 只需 $$ \frac{1}{n} < \varepsilon \quad \text{（因为 $\left|\cos\frac{n\pi}{2}\right| \le 1$）}, $$ 即 $$ n > \frac{1}{\varepsilon}. $$ 因此可取 $$ N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor, $$ 当 $n > N$ 时，必有 $|x_n - 0| < \varepsilon$。
**第三步：代入 $\varepsilon = 0.001$**
此时 $$ \frac{1}{\varepsilon} = 1000, $$ 所以取 $$ N = 1000. $$ 即当 $n > 1000$ 时，$|x_n| < 0.001$。
**最终答案** $$ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=0,\quad N=1000\ (\text{当 }\varepsilon=0.001)} $$