📝 题目
＊5．根据数列极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n+1}{2 n+1}=\frac{3}{2}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \uparrow}=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 证明 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$。
根据数列极限的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $$ \left| \frac{1}{n^2} - 0 \right| < \varepsilon. $$
由于 $\frac{1}{n^2} > 0$，只需 $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$，即 $n^2 > \frac{1}{\varepsilon}$，从而 $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$。 取 $N = \left\lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，不等式成立。故极限为 0。
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**（2）** 证明 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3}{2}$。
计算差： $$ \left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)} \right| = \left| \frac{6n+2 - 6n - 3}{2(2n+1)} \right| = \frac{1}{2(2n+1)}. $$
对任意 $\varepsilon > 0$，要使得 $\frac{1}{2(2n+1)} < \varepsilon$，即 $2n+1 > \frac{1}{2\varepsilon}$，从而 $n > \frac{1}{4\varepsilon} - \frac12$。 取 $N = \max\left\{1, \left\lceil \frac{1}{4\varepsilon} - \frac12 \right\rceil \right\}$，则当 $n > N$ 时，不等式成立。故极限为 $\frac{3}{2}$。
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**（3）** 证明 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} = 1$。
计算差： $$ \left| \frac{\sqrt{n^2 + a^2}}{n} - 1 \right| = \left| \frac{\sqrt{n^2 + a^2} - n}{n} \right| = \frac{(\sqrt{n^2 + a^2} - n)(\sqrt{n^2 + a^2} + n)}{n(\sqrt{n^2 + a^2} + n)} = \frac{a^2}{n(\sqrt{n^2 + a^2} + n)}. $$
因为 $\sqrt{n^2 + a^2} + n > 2n$，所以 $$ \frac{a^2}{n(\sqrt{n^2 + a^2} + n)} < \frac{a^2}{n \cdot 2n} = \frac{a^2}{2n^2}. $$
对任意 $\varepsilon > 0$，要使得 $\frac{a^2}{2n^2} < \varepsilon$，即 $n^2 > \frac{a^2}{2\varepsilon}$，从而 $n > \frac{|a|}{\sqrt{2\varepsilon}}$。 取 $N = \left\lceil \frac{|a|}{\sqrt{2\varepsilon}} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，原差小于 $\varepsilon$。故极限为 1。
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**（4）** 证明 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} 0.\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{个}} = 1$。
记 $x_n = 0.\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{个}}$，则 $$ x_n = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \cdots + \frac{9}{10^n} = 1 - \frac{1}{10^n}. $$
于是 $$ |x_n - 1| = \frac{1}{10^n}. $$
对任意 $\varepsilon > 0$，要使得 $\frac{1}{10^n} < \varepsilon$，即 $10^n > \frac{1}{\varepsilon}$，从而 $n > \log_{10}\frac{1}{\varepsilon}$。 取 $N = \left\lceil \log_{10}\frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，不等式成立。故极限为 1。