📝 题目
＊7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，又 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：设数列 $\{x_n\}$ 有界，又 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n = 0$，证明 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0$。
**证明**：
由于数列 $\{x_n\}$ 有界，根据定义，存在常数 $M > 0$，使得对一切正整数 $n$，都有 $$ |x_n| \le M. $$
又因为 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n = 0$，由极限定义：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $$ |y_n| < \frac{\varepsilon}{M}. $$
于是，当 $n > N$ 时， $$ |x_n y_n| = |x_n| \cdot |y_n| \le M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon. $$
由极限定义可知 $$ \lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0. $$
证毕。