📝 题目
＊8．对于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，若 $x_{2 k-1} \rightarrow a(k \rightarrow \infty), x_{2 k} \rightarrow a(k \rightarrow \infty)$ ，证明 $x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**： 对于数列 $\{x_n\}$，若 $x_{2k-1} \to a \ (k \to \infty)$，且 $x_{2k} \to a \ (k \to \infty)$，证明 $x_n \to a \ (n \to \infty)$。
**证明**： 由条件，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$：
1. 因为 $x_{2k-1} \to a$，存在正整数 $K_1$，使得当 $k > K_1$ 时，有 $$ |x_{2k-1} - a| < \varepsilon. $$
2. 因为 $x_{2k} \to a$，存在正整数 $K_2$，使得当 $k > K_2$ 时，有 $$ |x_{2k} - a| < \varepsilon. $$
取 $N = \max\{2K_1, 2K_2\}$。现在考虑任意 $n > N$：
- 若 $n$ 为奇数，设 $n = 2k-1$，则 $k > K_1$，因此 $$ |x_n - a| = |x_{2k-1} - a| < \varepsilon. $$
- 若 $n$ 为偶数，设 $n = 2k$，则 $k > K_2$，因此 $$ |x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon. $$
因此，对任意 $n > N$，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。由极限定义可知 $$ \lim_{n \to \infty} x_n = a. $$
证毕。