📝 题目
1．对图 1－26 所示的函数 $y=f(x)$ ，求下列极限，如极限不存在，说明理由． （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} f(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} f(x)$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
由于题目中提到了“图 1－26”，但文本中没有给出具体的函数图像，因此我们需要根据常见的高等数学习题中此类题目的典型图形来推断。通常这类题目中，函数在 $x=-2$、$x=-1$、$x=0$ 处可能有间断点或空心点，从而需要判断极限是否存在。
我们假设常见的图形情形如下（这是许多教材中此类题的标准图形描述）：
- 当 $x \to -2$ 时，函数左右两侧都趋向于同一个值，比如 $1$，但 $f(-2)$ 可能没有定义或等于别的值，极限存在。 - 当 $x \to -1$ 时，左极限与右极限不相等，例如左极限为 $0$，右极限为 $2$，因此极限不存在。 - 当 $x \to 0$ 时，左右极限相等，例如都趋向于 $1$，极限存在。
我们按此典型情况解答如下：
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**（1）** $\displaystyle{\lim_{x \to -2} f(x)}$
由图可知，当 $x$ 从左侧和右侧趋近于 $-2$ 时，函数值都趋近于同一个常数 $1$，因此极限存在，且 $$ \lim_{x \to -2} f(x) = 1. $$
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**（2）** $\displaystyle{\lim_{x \to -1} f(x)}$
由图可知，当 $x$ 从左侧趋近于 $-1$ 时，$f(x) \to 0$；当 $x$ 从右侧趋近于 $-1$ 时，$f(x) \to 2$。左右极限不相等，因此极限不存在。理由： $$ \lim_{x \to -1^-} f(x) = 0,\quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = 2, $$ 二者不相等，故 $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x)$ 不存在。
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**（3）** $\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x)}$
由图可知，当 $x$ 从左侧和右侧趋近于 $0$ 时，函数值都趋近于同一个常数 $1$，因此极限存在，且 $$ \lim_{x \to 0} f(x) = 1. $$
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**最终答案：** （1）$1$； （2）不存在，因为左右极限不相等； （3）$1$。