📝 题目
＊12．试给出 $x \rightarrow \infty$ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**定理（局部有界性）** 若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$（$A$ 为有限常数），则存在 $X > 0$ 及 $M > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，恒有 $|f(x)| \leq M$。即函数在无穷远处局部有界。
**证明** 由极限定义： 对 $\varepsilon = 1 > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $$ |f(x) - A| < 1. $$ 于是由绝对值不等式， $$ |f(x)| = |f(x) - A + A| \leq |f(x) - A| + |A| < 1 + |A|. $$ 取 $M = 1 + |A|$，则当 $|x| > X$ 时，恒有 $|f(x)| < M$，即 $|f(x)| \leq M$ 成立。 证毕。