📝 题目
＊5．根据函数极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3}(3 x-1)=8$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{1-4 x^{2}}{2 x+1}=2$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3}(3 x-1)=8$。
根据函数极限的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，要找到 $\delta > 0$，使得当 $0<|x-3|<\delta$ 时，有 $|(3x-1)-8|<\varepsilon$。
计算： $$ |(3x-1)-8| = |3x-9| = 3|x-3|. $$ 要使 $3|x-3|<\varepsilon$，只需 $|x-3|<\frac{\varepsilon}{3}$。取 $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$，则当 $0<|x-3|<\delta$ 时，有 $$ |(3x-1)-8| = 3|x-3| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. $$ 因此极限成立。
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**（2）** 证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$。
对任意 $\varepsilon > 0$，要找到 $\delta > 0$，使得当 $0<|x-2|<\delta$ 时，有 $|(5x+2)-12|<\varepsilon$。
计算： $$ |(5x+2)-12| = |5x-10| = 5|x-2|. $$ 要使 $5|x-2|<\varepsilon$，只需 $|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}$。取 $\delta = \frac{\varepsilon}{5}$，则当 $0<|x-2|<\delta$ 时，有 $$ |(5x+2)-12| = 5|x-2| < 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon. $$ 因此极限成立。
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**（3）** 证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$。
注意当 $x \neq -2$ 时，有 $$ \frac{x^{2}-4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2. $$ 因此 $$ \left|\frac{x^{2}-4}{x+2} - (-4)\right| = |(x-2)+4| = |x+2|. $$ 对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0<|x+2|<\delta$ 时，有 $$ \left|\frac{x^{2}-4}{x+2} + 4\right| = |x+2| < \varepsilon. $$ 因此极限成立。
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**（4）** 证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{1-4 x^{2}}{2 x+1}=2$。
当 $x \neq -\frac{1}{2}$ 时，有 $$ \frac{1-4x^{2}}{2x+1} = \frac{(1-2x)(1+2x)}{2x+1} = 1-2x. $$ 因此 $$ \left|\frac{1-4x^{2}}{2x+1} - 2\right| = |(1-2x)-2| = |-2x-1| = 2\left|x+\frac{1}{2}\right|. $$ 对任意 $\varepsilon > 0$，要使 $2\left|x+\frac{1}{2}\right|<\varepsilon$，只需 $\left|x+\frac{1}{2}\right|<\frac{\varepsilon}{2}$。取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$，则当 $0<\left|x+\frac{1}{2}\right|<\delta$ 时，有 $$ \left|\frac{1-4x^{2}}{2x+1} - 2\right| = 2\left|x+\frac{1}{2}\right| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. $$ 因此极限成立。