📝 题目
＊6．根据函数极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x^{3}}{2 x^{3}}=\frac{1}{2}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）证明** $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{1+x^{3}}{2x^{3}} = \frac{1}{2}$
根据函数极限的定义： 对任意 $\varepsilon > 0$，要找到 $X > 0$，使得当 $|x| > X$ 时，有 $$ \left| \frac{1+x^{3}}{2x^{3}} - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon. $$
先化简差： $$ \frac{1+x^{3}}{2x^{3}} - \frac{1}{2} = \frac{1+x^{3}}{2x^{3}} - \frac{x^{3}}{2x^{3}} = \frac{1}{2x^{3}}. $$ 于是 $$ \left| \frac{1+x^{3}}{2x^{3}} - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2|x|^{3}}. $$
要使 $\frac{1}{2|x|^{3}} < \varepsilon$，只需 $$ |x|^{3} > \frac{1}{2\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad |x| > \sqrt[3]{\frac{1}{2\varepsilon}}. $$
取 $X = \sqrt[3]{\frac{1}{2\varepsilon}}$，则当 $|x| > X$ 时，有 $$ \left| \frac{1+x^{3}}{2x^{3}} - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon. $$
由极限定义得证。
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**（2）证明** $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} = 0$
对任意 $\varepsilon > 0$，要找到 $X > 0$，使得当 $x > X$ 时，有 $$ \left| \frac{\sin x}{\sqrt{x}} - 0 \right| < \varepsilon. $$
由于 $|\sin x| \le 1$，所以 $$ \left| \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \right| \le \frac{1}{\sqrt{x}}. $$
要使 $\frac{1}{\sqrt{x}} < \varepsilon$，只需 $$ \sqrt{x} > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad x > \frac{1}{\varepsilon^{2}}. $$
取 $X = \frac{1}{\varepsilon^{2}}$，则当 $x > X$ 时，有 $$ \left| \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \right| \le \frac{1}{\sqrt{x}} < \varepsilon. $$
由极限定义得证。