📝 题目
＊7．当 $x \rightarrow 2$ 时，$y=x^{2} \rightarrow 4$ ．问 $\delta$ 等于多少，使当 $|x-2|\lt \delta$ 时，$|y-4|\lt 0.001$ ？
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们需要找到 $\delta > 0$，使得当 $|x-2|<\delta$ 时，有 $|x^2 - 4| < 0.001$。
首先，将表达式变形： $$ |x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2| \cdot |x+2|. $$
由于 $x$ 接近 2，我们可以先限制 $x$ 的范围，例如取 $|x-2| < 1$，则 $1 < x < 3$，于是 $$ |x+2| < 5. $$
因此，当 $|x-2| < 1$ 时， $$ |x^2 - 4| = |x-2| \cdot |x+2| < 5|x-2|. $$
要使 $|x^2 - 4| < 0.001$，只需 $$ 5|x-2| < 0.001 \quad\Rightarrow\quad |x-2| < \frac{0.001}{5} = 0.0002. $$
现在取 $\delta$ 为两个限制中较小的一个，即 $$ \delta = \min\left(1,\; 0.0002\right) = 0.0002. $$
因此，当 $|x-2| < 0.0002$ 时，必有 $|x^2 - 4| < 0.001$。
最终答案为： $$ \boxed{0.0002} $$