📝 题目
1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之．**
**解：** 两个无穷小的商不一定是无穷小。因为无穷小是极限为0的变量，但它们的比值可能趋于0、趋于非零常数、趋于无穷大，甚至可能不趋于任何极限。下面通过具体例子说明。
设当 $x \to 0$ 时，考虑以下三种情况：
1. **商为无穷小** 取 $\alpha(x) = x^2$，$\beta(x) = x$，则当 $x \to 0$ 时，$\alpha(x) \to 0$，$\beta(x) \to 0$， $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x^2}{x} = x \to 0, $$ 此时商是无穷小。
2. **商为非零常数** 取 $\alpha(x) = 2x$，$\beta(x) = x$，则 $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{2x}{x} = 2 \to 2 \neq 0, $$ 此时商不是无穷小。
3. **商为无穷大** 取 $\alpha(x) = x$，$\beta(x) = x^2$，则 $$ \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \to \infty, $$ 此时商不是无穷小，而是无穷大。
因此，两个无穷小的商不一定为无穷小，其结果取决于它们趋于0的“速度”比较。