📝 题目
4．求下列极限并说明理由： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-x^{2}}{1-x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 求极限 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x} $$
**步骤：** 将分子分母同除以 $x$，得 $$ \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}. $$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x} = 2. $$
**理由：** 极限存在且等于 $2$，因为函数可以写成常数 $2$ 加上一个趋于零的量。
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**（2）** 求极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-x^{2}}{1-x} $$
**步骤：** 注意到分子可以因式分解： $$ 1 - x^2 = (1-x)(1+x), $$ 于是当 $x \neq 1$ 时， $$ \frac{1-x^{2}}{1-x} = 1+x. $$ 因此 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-x^{2}}{1-x} = \lim_{x \to 0} (1+x) = 1. $$
**理由：** 在 $x=0$ 附近，函数与 $1+x$ 完全相同，而 $1+x$ 在 $x=0$ 处连续，故极限值为 $1$。