📝 题目
6．函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？这个函数是不是 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大？为什么？
💡 答案与解析
[AI解答]
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**问题**： 函数 $ y = x \cos x $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内是否有界？这个函数是不是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大？为什么？
**解答**：
1. **判断函数在 $ (-\infty, +\infty) $ 上是否有界** 函数 $ y = x \cos x $ 的定义域为全体实数。 考虑点列 $ x_n = 2n\pi $，其中 $ n \in \mathbb{N} $，则 $$ y(x_n) = (2n\pi) \cdot \cos(2n\pi) = 2n\pi \cdot 1 = 2n\pi. $$ 当 $ n \to +\infty $ 时，$ y(x_n) \to +\infty $，因此函数值可以无限增大，故函数在 $ (-\infty, +\infty) $ 上**无界**。
2. **判断是否为 $ x \to +\infty $ 时的无穷大** 若 $ y = x \cos x $ 是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大，则对任意 $ M > 0 $，存在 $ X > 0 $，当 $ x > X $ 时，恒有 $ |x \cos x| > M $。 但考虑另一列点 $ x_n = \frac{\pi}{2} + n\pi $，其中 $ n \in \mathbb{N} $，则 $$ \cos\left( \frac{\pi}{2} + n\pi \right) = 0, $$ 因此 $$ y(x_n) = x_n \cdot 0 = 0. $$ 无论 $ x $ 多大，总存在这样的点使函数值为 0，不满足“绝对值大于任意正数”的条件。 所以 $ y = x \cos x $ **不是** $ x \to +\infty $ 时的无穷大。
**结论**： - 函数在 $ (-\infty, +\infty) $ 上**无界**。 - 函数**不是** $ x \to +\infty $ 时的无穷大，因为存在子列使函数值恒为 0，不满足无穷大的定义。
**难度评级**：★★☆☆☆