📝 题目
8．求函数 $f(x)=\frac{4}{2-x^{2}}$ 的图形的渐近线．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们求函数 $$ f(x)=\frac{4}{2-x^{2}} $$ 的渐近线。
**第一步：确定定义域** 分母为零时： $$ 2-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2} $$ 因此定义域为 $(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$。
**第二步：求垂直渐近线** 当 $x\to\sqrt{2}^{-}$ 时，分母 $2-x^{2}\to 0^{+}$，分子为 4，故 $$ \lim_{x\to\sqrt{2}^{-}} f(x)=+\infty $$ 当 $x\to\sqrt{2}^{+}$ 时，分母 $2-x^{2}\to 0^{-}$，故 $$ \lim_{x\to\sqrt{2}^{+}} f(x)=-\infty $$ 同理，当 $x\to -\sqrt{2}^{-}$ 时，$2-x^{2}\to 0^{-}$，故 $$ \lim_{x\to -\sqrt{2}^{-}} f(x)=-\infty $$ 当 $x\to -\sqrt{2}^{+}$ 时，$2-x^{2}\to 0^{+}$，故 $$ \lim_{x\to -\sqrt{2}^{+}} f(x)=+\infty $$ 因此有两条垂直渐近线： $$ x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2} $$
**第三步：求水平渐近线** 考虑 $x\to +\infty$： $$ \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{2-x^{2}} = \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{-x^{2}\left(1-\frac{2}{x^{2}}\right)} = 0 $$ 同理 $x\to -\infty$： $$ \lim_{x\to -\infty} \frac{4}{2-x^{2}} = 0 $$ 因此有一条水平渐近线： $$ y=0 $$
**第四步：判断斜渐近线** 由于存在水平渐近线 $y=0$，且函数在无穷远处趋于 0，故不存在斜渐近线。
**结论** 渐近线为： $$ \boxed{x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2},\quad y=0} $$
难度：★☆☆☆☆