📝 题目
＊2．根据定义证明： （1）$y=\frac{x^{2}-9}{x+3}$ 为当 $x \rightarrow 3$ 时的无穷小； （2）$y=x \sin \frac{1}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小．
💡 答案与解析
[AI解答]
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(1) 证明 $y=\frac{x^{2}-9}{x+3}$ 为当 $x \rightarrow 3$ 时的无穷小。
根据无穷小的定义：若 $\displaystyle\lim_{x \to 3} y = 0$，则 $y$ 是 $x \to 3$ 时的无穷小。
首先化简函数： $$ y = \frac{x^{2}-9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} $$ 当 $x \neq -3$ 时，有 $$ y = x - 3 $$ 于是 $$ \lim_{x \to 3} y = \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 $$ 由定义可知，$y$ 是 $x \to 3$ 时的无穷小。
(2) 证明 $y = x \sin \frac{1}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小。
根据无穷小的定义，需证明 $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
由于对任意 $x \neq 0$，有 $$ \left| \sin \frac{1}{x} \right| \le 1 $$ 因此 $$ 0 \le \left| x \sin \frac{1}{x} \right| \le |x| $$ 当 $x \to 0$ 时，$|x| \to 0$，由夹逼定理得 $$ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 $$ 所以 $y = x \sin \frac{1}{x}$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小。
难度：★☆☆☆☆