📝 题目
＊7．证明：函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 内无界，但这个函数不是 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：证明函数在(0,1]内无界** 考虑函数 $$ y = \frac{1}{x} \sin\frac{1}{x}, \quad x\in(0,1]. $$ 取点列 $$ x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad n=1,2,3,\dots $$ 显然 $x_n \in (0,1]$，且 $$ \sin\frac{1}{x_n} = \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1. $$ 于是 $$ y(x_n) = \frac{1}{x_n} \cdot 1 = 2n\pi + \frac{\pi}{2}. $$ 当 $n\to\infty$ 时，$y(x_n) \to +\infty$，因此函数在 $(0,1]$ 上无界。
**步骤2：证明它不是 $x\to 0^+$ 时的无穷大** 要说明它不是无穷大，只需找到另一个趋于0的点列，使函数值不趋于无穷大。 取 $$ x_k = \frac{1}{k\pi}, \quad k=1,2,3,\dots $$ 则 $$ \sin\frac{1}{x_k} = \sin(k\pi) = 0, $$ 所以 $$ y(x_k) = \frac{1}{x_k} \cdot 0 = 0. $$ 当 $k\to\infty$ 时，$x_k\to 0^+$，但函数值恒为0，不趋于无穷大。 因此，虽然函数无界，但并非 $x\to 0^+$ 时的无穷大（无穷大要求所有趋近方式下函数值绝对值都趋于无穷）。
**结论**：函数在(0,1]内无界，但不是$x\to 0^+$时的无穷大。
难度：★★☆☆☆