📝 题目
1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \sqrt{3}} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^{3}}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各极限的详细计算过程。
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**（1）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}$ 代入 $x=2$： 分子 $2^2+5=9$，分母 $2-3=-1$，极限为 $\frac{9}{-1}=-9$。 所以 $$ \boxed{-9} $$
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**（2）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \sqrt{3}} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$ 代入 $x=\sqrt{3}$： 分子 $3-3=0$，分母 $3+1=4$，极限为 $0$。 $$ \boxed{0} $$
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**（3）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-1}$ 分子因式分解：$(x-1)^2$，分母：$(x-1)(x+1)$，约去 $x-1$（$x\neq 1$）： $$ \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0 $$ $$ \boxed{0} $$
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**（4）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}$ 分子分母提取 $x$： $$ \lim_{x\to 0}\frac{x(4x^{2}-2x+1)}{x(3x+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2}=\frac{1}{2} $$ $$ \boxed{\frac{1}{2}} $$
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**（5）** $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$ 展开分子：$x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}$，除以 $h$ 得 $2x+h$，极限为 $2x$。 $$ \boxed{2x} $$
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**（6）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$ 当 $x\to\infty$，$\frac{1}{x}\to 0$，$\frac{1}{x^{2}}\to 0$，极限为 $2$。 $$ \boxed{2} $$
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**（7）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}$ 分子分母同除以 $x^{2}$： $$ \lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{2} $$ $$ \boxed{\frac{1}{2}} $$
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**（8）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{4}-3x^{2}+1}$ 分子最高次 $x^{2}$，分母 $x^{4}$，故极限为 $0$。 $$ \boxed{0} $$
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**（9）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6x+8}{x^{2}-5x+4}$ 因式分解：分子 $(x-2)(x-4)$，分母 $(x-1)(x-4)$，约去 $x-4$： $$ \lim_{x\to 4}\frac{x-2}{x-1}=\frac{2}{3} $$ $$ \boxed{\frac{2}{3}} $$
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**（10）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)$ 当 $x\to\infty$，$1+\frac{1}{x}\to 1$，$2-\frac{1}{x^{2}}\to 2$，乘积为 $2$。 $$ \boxed{2} $$
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**（11）** $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$ 这是等比数列求和：首项 $1$，公比 $\frac{1}{2}$，和 $S_n = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} = 2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)$，当 $n\to\infty$，极限为 $2$。 $$ \boxed{2} $$
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**（12）** $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}$ 分子和为 $\frac{(n-1)n}{2}$，故 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2} $$ $$ \boxed{\frac{1}{2}} $$
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**（13）** $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^{3}}$ 展开分子最高次 $n^{3}$，系数 $1$，故极限为 $\frac{1}{5}$。 $$ \boxed{\frac{1}{5}} $$
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**（14）** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$ 注意到 $1-x^{3}=(1-x)(1+x+x^{2})$，通分： $$ \frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^{2})}=\frac{1+x+x^{2}-3}{(1-x)(1+x+x^{2})}=\frac{x^{2}+x-2}{(1-x)(1+x+x^{2})} $$ 分子因式分解：$(x-1)(x+2)$，分母 $(1-x)(1+x+x^{2})=-(x-1)(1+x+x^{2})$，约去 $x-1$： $$ \lim_{x\to 1}\frac{x+2}{-(1+x+x^{2})}=\frac{3}{-3}=-1 $$ $$ \boxed{-1} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 所有极限均为基本初等函数或简单有理函数、数列极限，只需代入、因式分解或抓大头即可求解。