📝 题目
3．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] （1）计算极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$。
由于当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，而 $\sin\frac{1}{x}$ 是有界函数，满足 $|\sin\frac{1}{x}| \le 1$。 根据无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小的性质，可得： $$ \lim_{x \to 0} x^{2} \sin\frac{1}{x} = 0. $$
（2）计算极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$。
当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x$ 是有界函数，且 $|\arctan x| \le \frac{\pi}{2}$，而分母 $x \to \infty$。 因此，分子有界，分母趋于无穷大，极限为： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = 0. $$
难度：★☆☆☆☆