📝 题目
4．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 均为非负数列，且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$ ．下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）$a_{n}\lt b_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$； （2）$b_{n}\lt c_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n} c_{n}$ 不存在； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} b_{n} c_{n}$ 不存在．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们逐项分析：
（1）错误。 虽然 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} a_n = 0$，$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} b_n = 1$，但极限关系不能直接推出对所有 $n$ 都有 $a_n < b_n$。 反例：取 $a_n = 0$（常数列），$b_n = 1$（常数列），则 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} a_n = 0$，$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} b_n = 1$，但 $a_n = 0 < 1 = b_n$ 对所有 $n$ 成立，这看起来是对的？我们需要构造一个反例使得不等式不成立。 更合适的反例：令 $$ a_n = \begin{cases} 2, & n=1 \\ 0, & n \ge 2 \end{cases},\quad b_n = 1\ (\text{对所有 } n) $$ 则 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} a_n = 0$，$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} b_n = 1$，但 $a_1 = 2 > 1 = b_1$，因此并非对所有 $n$ 都有 $a_n < b_n$。故（1）错。
（2）错误。 虽然 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} b_n = 1$，$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} c_n = \infty$，但同样不能保证对所有 $n$ 有 $b_n < c_n$。 反例：取 $b_n = 1$，$c_n = 0$（当 $n=1$），$c_n = n$（当 $n \ge 2$），则 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} c_n = \infty$，但 $c_1 = 0 < 1 = b_1$，故（2）错。
（3）错误。 可能极限存在。 反例：取 $a_n = \frac{1}{n}$，$c_n = n$，则 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} a_n c_n = \displaystyle{\lim}_{n \to \infty} 1 = 1$，极限存在。故（3）错。
（4）正确。 因为 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} b_n = 1 > 0$，且 $\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} c_n = \infty$，由极限运算法则，乘积 $b_n c_n$ 趋于无穷大，即极限不存在（在实数范围内）。 严格说：对任意 $M > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$b_n > \frac12$ 且 $c_n > 2M$，则 $b_n c_n > M$，故无有限极限。所以（4）对。
结论： （1）错 （2）错 （3）错 （4）对
难度：★★☆☆☆