📝 题目
5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 不存在； （2）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 不存在； （3）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在； （4）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐一分析四个命题，并给出判断与理由或反例。
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（1） **命题**：如果 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x)}$ 存在，但 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} g(x)}$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)]}$ 不存在。 **判断**：正确。 **理由**：用反证法。假设 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)]}$ 存在，记为 $L$，而已知 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x) = A}$ 存在，则 $$ g(x) = [f(x) + g(x)] - f(x) $$ 由极限的减法法则，应有 $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = L - A $$ 存在，与已知矛盾。故原极限不存在。
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（2） **命题**：如果 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x)}$ 和 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} g(x)}$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)]}$ 不存在。 **判断**：错误。 **反例**：取 $x_0 = 0$，令 $$ f(x) = \frac{1}{x}, \quad g(x) = -\frac{1}{x} $$ 则两者在 $x \to 0$ 时极限都不存在（无穷大），但 $$ f(x) + g(x) = 0 $$ 极限为 $0$，存在。
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（3） **命题**：如果 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x)}$ 存在，但 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} g(x)}$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)]}$ 不存在。 **判断**：错误。 **反例**：取 $x_0 = 0$，令 $$ f(x) = 0, \quad g(x) = \sin\frac{1}{x} $$ 则 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x) = 0}$ 存在，$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}}$ 不存在，但 $$ f(x) \cdot g(x) = 0 $$ 极限为 $0$，存在。
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（4） **命题**：如果 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} f(x)}$ 和 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} g(x)}$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)]}$ 不存在。 **判断**：错误。 **反例**：取 $x_0 = 0$，令 $$ f(x) = \begin{cases} 1, & x \text{ 为有理数} \\ -1, & x \text{ 为无理数} \end{cases}, \quad g(x) = f(x) $$ 则两者在 $x \to 0$ 时极限都不存在（振荡于1和-1之间），但 $$ f(x) \cdot g(x) = 1 $$ 极限为 $1$，存在。
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**最终答案**： （1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误。
难度：★★☆☆☆