📝 题目
2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$（ $k$ 为正整数）．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下是各极限的详细计算过程：
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（1） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}} $$ 利用重要极限公式 $\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}} = e$。令 $t = -x$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$， 原式变为 $$ \displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{-\frac{1}{t}} = \left[\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{-1} = e^{-1}. $$ 因此 $$ \boxed{e^{-1}} $$
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（2） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{x}} $$ 令 $t = 2x$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，且 $\frac{1}{x} = \frac{2}{t}$， 原式 = $$ \displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{2}{t}} = \left[\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{2} = e^{2}. $$ 因此 $$ \boxed{e^{2}} $$
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（3） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2x} $$ 先化简括号内： $$ \frac{1+x}{x} = 1 + \frac{1}{x} $$ 于是原式 = $$ \displaystyle{\lim}_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x} $$ 令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，则 $$ \displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{2}{t}} = e^{2}. $$ 因此 $$ \boxed{e^{2}} $$
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（4） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x} $$ 令 $t = -\frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，且 $x = -\frac{1}{t}$，于是 $$ k x = -\frac{k}{t} $$ 原式 = $$ \displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{-\frac{k}{t}} = \left[\displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{-k} = e^{-k}. $$ 因此 $$ \boxed{e^{-k}} $$
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难度评级：★☆☆☆☆ （均为直接应用重要极限 $ \displaystyle{\lim}_{t \to 0}(1+t)^{1/t} = e$ 的简单变形）