📝 题目
4．利用极限存在准则证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)=1$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{1+x}=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 证明 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1}$。
利用夹逼准则。显然有 $$ 1 < \sqrt{1+\frac{1}{n}} < 1 + \frac{1}{n} $$ 因为当 $n>0$ 时，$\sqrt{1+\frac{1}{n}} < 1+\frac{1}{n}$ 可由平方比较得到。 而 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} 1 = 1}$，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right) = 1}$， 由夹逼准则得 $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}} = 1. $$
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**（2）** 证明 $$ \displaystyle{\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2\pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n\pi}\right)=1}. $$
记 $$ a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + k\pi}. $$ 由于对每个 $k=1,\dots,n$，有 $$ \frac{1}{n^2 + n\pi} \le \frac{1}{n^2 + k\pi} \le \frac{1}{n^2 + \pi}, $$ 所以 $$ n \cdot \frac{1}{n^2 + n\pi} \le a_n \le n \cdot \frac{1}{n^2 + \pi}. $$ 即 $$ \frac{n}{n^2 + n\pi} \le a_n \le \frac{n}{n^2 + \pi}. $$ 两边乘以 $n$： $$ \frac{n^2}{n^2 + n\pi} \le n a_n \le \frac{n^2}{n^2 + \pi}. $$ 计算左右极限： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n}} = 1, $$ $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n^2}} = 1. $$ 由夹逼准则，原极限为 $1$。
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**（3）** 证明 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \sqrt[n]{1+x} = 1}$。
这里 $n$ 是固定正整数。考虑 $x\to 0$，利用不等式： 当 $x > -1$ 时，有 $$ 1 + \frac{x}{n} \le \sqrt[n]{1+x} \le 1 + x \quad (\text{当 } x>0), $$ 或反向不等式当 $x<0$ 时类似成立，但统一可用夹逼。 更直接： $$ \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/n} = 1^{1/n} = 1, $$ 由指数函数的连续性即得。
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**（4）** 证明 $\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right] = 1}$。
记 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x\to 0^{+}$ 时 $t\to +\infty$，且 $$ x\left[\frac{1}{x}\right] = \frac{[t]}{t}. $$ 由取整函数性质： $$ t-1 < [t] \le t, $$ 所以 $$ \frac{t-1}{t} < \frac{[t]}{t} \le 1. $$ 当 $t\to +\infty$，$\displaystyle{\frac{t-1}{t} \to 1}$，由夹逼准则得极限为 $1$。
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**难度评级**：★★☆☆☆