📝 题目
6．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1} \in(0, \pi), x_{n+1}=\sin x_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：证明极限存在** 已知 $x_1 \in (0, \pi)$，且递推公式为 $$ x_{n+1} = \sin x_n. $$ 对于任意 $x \in (0, \pi)$，有 $\sin x < x$，且 $\sin x > 0$。因此数列 $\{x_n\}$ 严格单调递减且有下界 $0$。由单调有界准则，极限 $$ \lim_{n \to \infty} x_n $$ 存在，记该极限为 $a$，且 $a \ge 0$。
**第二步：求极限值** 对递推关系两边取极限，得到 $$ a = \sin a. $$ 在实数范围内，方程 $a = \sin a$ 的解只有 $a = 0$（因为当 $a > 0$ 时，$\sin a < a$）。 因此 $$ \lim_{n \to \infty} x_n = 0. $$
**结论** $$ \boxed{0} $$
难度：★★☆☆☆