📝 题目
＊3．根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 $\mathrm{I}^{\prime}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 准则 I′（夹逼准则的极限形式）： 设函数 $f(x), g(x), h(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，且满足 $$ g(x) \le f(x) \le h(x), $$ 若 $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A, $$ 则 $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A. $$
**证明**： 由极限定义，对任意给定的 $\varepsilon > 0$：
因为 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = A$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时，有 $$ |g(x) - A| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad A - \varepsilon < g(x) < A + \varepsilon. $$
同理，因为 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} h(x) = A$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时，有 $$ |h(x) - A| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad A - \varepsilon < h(x) < A + \varepsilon. $$
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，既有 $$ A - \varepsilon < g(x) < A + \varepsilon, \quad A - \varepsilon < h(x) < A + \varepsilon, $$ 又由条件 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，可得 $$ A - \varepsilon < g(x) \le f(x) \le h(x) < A + \varepsilon, $$ 即 $$ |f(x) - A| < \varepsilon. $$
因此，由极限定义，$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。证毕。
难度：★★☆☆☆ （属于基础极限定义与夹逼准则的严格表述证明，逻辑清晰但需注意去心邻域与不等式的传递性。）