📝 题目
1．当 $x \rightarrow 0$ 时， $2 x-x^{2}$ 与 $x^{2}-x^{3}$ 相比，哪一个是高阶无穷小？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要比较当 $x \to 0$ 时，$2x - x^2$ 与 $x^2 - x^3$ 哪一个是高阶无穷小，即比较它们趋于 0 的速度快慢。 我们计算它们的比值的极限。
设 $$ \alpha(x) = 2x - x^2, \quad \beta(x) = x^2 - x^3. $$
考虑极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x^3}{2x - x^2}. $$
分子分母同时提取最低次幂： $$ \frac{x^2(1 - x)}{x(2 - x)} = \frac{x(1 - x)}{2 - x}. $$
于是 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - x)}{2 - x} = \frac{0 \cdot (1 - 0)}{2 - 0} = 0. $$
由于 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 0, $$ 说明 $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小。
因此，当 $x \to 0$ 时，$x^2 - x^3$ 是比 $2x - x^2$ 更高阶的无穷小。
难度：★☆☆☆☆