📝 题目
2．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(1-\cos x)^{2}$ 与 $\sin ^{2} x$ 相比，哪一个是高阶无穷小？
💡 答案与解析
[AI解答]
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要比较当 $x \to 0$ 时，$(1-\cos x)^2$ 与 $\sin^2 x$ 哪个是更高阶的无穷小，我们考虑它们的比值的极限。
首先，利用等价无穷小代换： 当 $x \to 0$ 时， $$ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2, $$ $$ \sin x \sim x. $$
因此， $$ (1 - \cos x)^2 \sim \left( \frac{1}{2} x^2 \right)^2 = \frac{1}{4} x^4, $$ $$ \sin^2 x \sim x^2. $$
现在我们比较这两个无穷小的阶数，计算 $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4} x^4}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{4} x^2 = 0. $$
由于极限为 0，说明分子 $(1-\cos x)^2$ 是比分母 $\sin^2 x$ 更高阶的无穷小。
因此，当 $x \to 0$ 时，$(1-\cos x)^2$ 是比 $\sin^2 x$ 更高阶的无穷小。
难度：★☆☆☆☆