📝 题目
4．证明：当 $x \rightarrow 0$ 时，有 （1） $\arctan x \sim x$ ； （2） $\sec x-1 \sim \frac{x^{2}}{2}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）证明 $\arctan x \sim x$（当 $x \to 0$）**
要证明等价无穷小，即证明 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1. $$
考虑使用洛必达法则（或重要极限）。由于当 $x \to 0$ 时分子分母都趋于 $0$，且导数存在，故 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\displaystyle\frac{1}{1+x^2}}{1} = \frac{1}{1+0} = 1. $$
因此 $\arctan x \sim x$，证毕。
**（2）证明 $\sec x - 1 \sim \frac{x^2}{2}$（当 $x \to 0$）**
要证明 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{x^2/2} = 1. $$
首先 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，所以 $$ \sec x - 1 = \frac{1 - \cos x}{\cos x}. $$
已知当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，且 $\cos x \to 1$，因此 $$ \frac{1 - \cos x}{\cos x} \sim \frac{x^2/2}{1} = \frac{x^2}{2}. $$
更严格地，用极限验证： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{x^2/2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x \cdot \frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2/2} \cdot \frac{1}{\cos x}. $$
由重要极限 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2/2} = 1$，且 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$，故乘积极限为 $1$。
因此 $\sec x - 1 \sim \frac{x^2}{2}$，证毕。
难度：★☆☆☆☆