📝 题目
4．讨论函数 $f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x \quad\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$的连续性，若有间断点，则判别其类型．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们讨论函数 $$ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\,x $$ 的连续性，并判断间断点类型。
**第一步：分析极限表达式** 由于极限过程是 $n\to\infty$，而 $x^{2n}$ 的行为依赖于 $|x|$ 与 1 的关系。
- 当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}\to 0$，因此 $$ \frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}} \to \frac{1-0}{1+0}=1 $$ 所以 $$ f(x)=x. $$
- 当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}\to\infty$，分子分母同除以 $x^{2n}$： $$ \frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}} = \frac{\frac{1}{x^{2n}}-1}{\frac{1}{x^{2n}}+1} \to \frac{0-1}{0+1} = -1 $$ 因此 $$ f(x) = -x. $$
- 当 $x=1$ 时，$x^{2n}=1$，分子为 $1-1=0$，分母为 $1+1=2$，所以 $$ f(1)=0\cdot 1 = 0. $$
- 当 $x=-1$ 时，$x^{2n}=(-1)^{2n}=1$，同样分子为 0，分母为 2，所以 $$ f(-1)=0\cdot (-1)=0. $$
因此函数的分段表示为： $$ f(x)= \begin{cases} x, & |x|<1,\$$4pt] 0, & x=1 \text{ 或 } x=-1,\$$4pt] -x, & |x|>1. \end{cases} $$
**第二步：考察连续性** 在区间 $(-1,1)$ 内，$f(x)=x$ 连续；在 $|x|>1$ 时，$f(x)=-x$ 也连续。只需检查分界点 $x=1$ 和 $x=-1$。
- 在 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-} x = 1$。 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} (-x) = -1$。 函数值：$f(1)=0$。 左右极限不相等，且均不等于函数值，因此 $x=1$ 为**跳跃间断点**。
- 在 $x=-1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^-} f(x) = \lim_{x\to -1^-} (-x) = 1$（因为当 $x<-1$ 时，$-x>1$）。 右极限：$\displaystyle\lim_{x\to -1^+} f(x) = \lim_{x\to -1^+} x = -1$。 函数值：$f(-1)=0$。 左右极限不相等，且均不等于函数值，因此 $x=-1$ 也是**跳跃间断点**。
**第三步：结论** 函数在 $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$ 上连续，在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处为第一类跳跃间断点。
难度：★★☆☆☆