📝 题目
5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续； （2）如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们逐条分析并给出判断。
（1）**陈述：** 如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续。 **判断：正确。** **理由：** 由函数连续的定义，若 $f$ 在 $x=a$ 处连续，则 $$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a). $$ 考虑绝对值函数 $g(t)=|t|$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，由连续函数的复合性质， $$ \lim_{x\to a} |f(x)| = \left|\lim_{x\to a} f(x)\right| = |f(a)|, $$ 因此 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处连续。
（2）**陈述：** 如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续。 **判断：错误。** **反例：** 考虑函数 $$ f(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0,\\ -1, & x < 0. \end{cases} $$ 则 $|f(x)| = 1$ 处处连续，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有跳跃间断，显然不连续。
因此： - 第（1）题：对 - 第（2）题：错
难度：★☆☆☆☆