📝 题目
8．设 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ ，有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，证明：$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知函数 $f(x)$ 满足对任意实数 $x, y$ 有 $$ f(x+y) = f(x) + f(y) $$ 且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。要证明 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续。
**证明步骤：**
1. 由函数方程，令 $y = 0$，得 $$ f(x) = f(x) + f(0) \quad\Rightarrow\quad f(0) = 0. $$
2. 由连续性条件：$f$ 在 $x=0$ 连续，即 $$ \lim_{h \to 0} f(h) = f(0) = 0. $$
3. 对任意 $x_0 \in \mathbf{R}$，考虑增量 $h$，有 $$ f(x_0 + h) - f(x_0) = f(x_0) + f(h) - f(x_0) = f(h). $$ 这里用到了函数方程 $f(x_0+h) = f(x_0) + f(h)$。
4. 因此 $$ \lim_{h \to 0} \bigl[ f(x_0 + h) - f(x_0) \bigr] = \lim_{h \to 0} f(h) = 0. $$ 即 $$ \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0). $$
5. 这说明 $f$ 在任意点 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续。
证毕。
难度：★☆☆☆☆