📝 题目
＊6．证明：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续且 $f\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则存在 $x_{0}$ 的某一邻域 $U\left(x_{0}\right)$ ，当 $x \in U\left(x_{0}\right)$ 时， $f(x) \neq 0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处连续，且 $ f(x_0) \neq 0 $。 由连续性的定义：对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $$ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon. $$ 现在取 $$ \varepsilon = \frac{|f(x_0)|}{2} > 0, $$ 因为 $ f(x_0) \neq 0 $，所以这个 $\varepsilon$ 是正数。 于是存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $$ |f(x) - f(x_0)| < \frac{|f(x_0)|}{2}. $$ 由绝对值不等式， $$ |f(x)| \geq |f(x_0)| - |f(x) - f(x_0)| > |f(x_0)| - \frac{|f(x_0)|}{2} = \frac{|f(x_0)|}{2} > 0. $$ 因此，在邻域 $ U(x_0) = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $ 内，对所有 $ x $ 都有 $ f(x) \neq 0 $。 证毕。
难度：★☆☆☆☆