第1章 · 第1-8-*7题

[AI解答]

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**题目**：设 $$ f(x)= \begin{cases}x, & x \in \mathbf{Q} \\ 0, & x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}\end{cases} $$ 证明：（1）$f(x)$ 在 $x=0$ 连续；（2）$f(x)$ 在非零的 $x$ 处都不连续。

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**证明（1）**： 要证 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，即证 $$ \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = f(0). $$ 由于 $0 \in \mathbf{Q}$，故 $f(0)=0$。 对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$。当 $0 < |x-0| < \delta$ 时，分两种情况： - 若 $x \in \mathbf{Q}$，则 $|f(x)-f(0)| = |x-0| = |x| < \delta = \varepsilon$； - 若 $x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$，则 $|f(x)-f(0)| = |0-0| = 0 < \varepsilon$。 因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta=\varepsilon>0$，使得当 $0<|x-0|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-f(0)|<\varepsilon$。 由极限定义得 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续。

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**证明（2）**： 设 $x_0 \neq 0$，要证 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，即证 $$ \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) $$ 或极限不存在。 分两种情况：

**情况一**：$x_0 \in \mathbf{Q}$ 且 $x_0 \neq 0$。 此时 $f(x_0)=x_0 \neq 0$。 取有理数列 $\{r_n\}$ 满足 $r_n \to x_0$，则 $f(r_n)=r_n \to x_0$。 取无理数列 $\{t_n\}$ 满足 $t_n \to x_0$，则 $f(t_n)=0 \to 0$。 由于 $x_0 \neq 0$，两个子列极限不同，故 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ 不存在，因此 $f$ 在 $x_0$ 不连续。

**情况二**：$x_0 \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}$。 此时 $f(x_0)=0$。 取有理数列 $\{r_n\}$ 满足 $r_n \to x_0$，则 $f(r_n)=r_n \to x_0 \neq 0$。 取无理数列 $\{t_n\}$ 满足 $t_n \to x_0$，则 $f(t_n)=0 \to 0$。 两个子列极限不同（$x_0 \neq 0$），故 $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ 不存在，因此 $f$ 在 $x_0$ 不连续。

综上，对于任意非零 $x$，$f(x)$ 在该点都不连续。

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**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及有理数无理数的稠密性及连续定义的基本应用，思路清晰但需注意分类讨论，属于中等偏易题。）