📝 题目
1．求函数 $f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{2}-x-3}{x^{2}+x-6}$ 的连续区间，并求极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x), ~ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-3} f(x)$ 及 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，函数 $$ f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{2}+x-6} $$ 为有理函数，其连续区间为分母不为零的点集。 分母因式分解： $$ x^{2}+x-6=(x+3)(x-2) $$ 所以分母为零的点为 $x=-3$ 和 $x=2$。因此连续区间为 $$ (-\infty,-3)\cup(-3,2)\cup(2,+\infty). $$
接下来分别求极限。
1. 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 0}} f(x)$： 由于 $x=0$ 在连续区间内，直接代入： $$ f(0)=\frac{0+0-0-3}{0+0-6}=\frac{-3}{-6}=\frac12. $$ 所以 $$ \lim_{x\to 0}f(x)=\frac12. $$
2. 求 $\displaystyle{\lim_{x\to -3}} f(x)$： 先对分子因式分解。尝试分组： $$ x^{3}+3x^{2}-x-3 = x^{2}(x+3)-1(x+3)=(x+3)(x^{2}-1)=(x+3)(x-1)(x+1). $$ 因此 $$ f(x)=\frac{(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+3)(x-2)}. $$ 当 $x\neq -3$ 时可约去 $x+3$： $$ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-2}. $$ 于是 $$ \lim_{x\to -3}f(x)=\frac{(-3-1)(-3+1)}{-3-2}=\frac{(-4)(-2)}{-5}=\frac{8}{-5}=-\frac{8}{5}. $$
3. 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 2}} f(x)$： 利用化简后的形式 $$ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-2},\quad x\neq 2. $$ 当 $x\to 2$ 时，分子趋于 $(2-1)(2+1)=3$，分母趋于 $0$，因此极限为无穷大。具体判断符号： 当 $x\to 2^{+}$，分母正，故极限为 $+\infty$； 当 $x\to 2^{-}$，分母负，故极限为 $-\infty$。 因此双侧极限不存在，可写为 $$ \lim_{x\to 2}f(x)=\infty \quad (\text{或不存在}). $$
最终答案： 连续区间：$(-\infty,-3)\cup(-3,2)\cup(2,+\infty)$ $$ \lim_{x\to 0}f(x)=\frac12,\quad \lim_{x\to -3}f(x)=-\frac{8}{5},\quad \lim_{x\to 2}f(x)=\infty. $$
难度：★★☆☆☆