📝 题目
3．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x)$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是各极限的求解过程：
（1） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5} $$ 由于根号内函数连续，直接代入 $x=0$： $$ \sqrt{0^2 - 2\cdot 0 + 5} = \sqrt{5} $$ 难度：★☆☆☆☆
（2） $$ \displaystyle{\lim}_{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3} $$ 代入 $\alpha = \frac{\pi}{4}$，则 $2\alpha = \frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，所以 $$ 1^3 = 1 $$ 难度：★☆☆☆☆
（3） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x) $$ 代入 $x=\frac{\pi}{6}$，则 $2x = \frac{\pi}{3}$，$\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$，于是 $$ 2\cos\frac{\pi}{3} = 1,\quad \ln 1 = 0 $$ 难度：★☆☆☆☆
（4） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} $$ 分子有理化： $$ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} $$ 当 $x\to 0$ 时，极限为 $$ \frac{1}{1+1} = \frac12 $$ 难度：★★☆☆☆
（5） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1} $$ 分子有理化： $$ \frac{(\sqrt{5x-4}-\sqrt{x})(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})} = \frac{5x-4 - x}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})} = \frac{4(x-1)}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})} $$ 约去 $x-1$，得 $$ \frac{4}{\sqrt{5x-4}+\sqrt{x}} \xrightarrow{x\to 1} \frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{4}{2} = 2 $$ 难度：★★☆☆☆
（6） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha} $$ 利用和差化积： $$ \sin x - \sin \alpha = 2\cos\frac{x+\alpha}{2}\sin\frac{x-\alpha}{2} $$ 于是 $$ \frac{\sin x - \sin \alpha}{x-\alpha} = \frac{2\cos\frac{x+\alpha}{2}\sin\frac{x-\alpha}{2}}{x-\alpha} = \cos\frac{x+\alpha}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x-\alpha}{2}}{\frac{x-\alpha}{2}} $$ 当 $x\to\alpha$ 时，$\frac{\sin\frac{x-\alpha}{2}}{\frac{x-\alpha}{2}} \to 1$，且 $\cos\frac{x+\alpha}{2} \to \cos\alpha$，故极限为 $$ \cos\alpha $$ 难度：★★★☆☆
（7） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right) $$ 分子有理化： $$ \frac{(x^2+x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}} $$ 当 $x\to +\infty$，分母 $\sim x + x = 2x$，所以极限为 $$ \frac{2x}{2x} = 1 $$ 更严谨地： $$ \frac{2x}{x\sqrt{1+\frac1x}+x\sqrt{1-\frac1x}} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}} \to \frac{2}{1+1}=1 $$ 难度：★★★☆☆
（8） $$ \displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)} $$ 当 $x\to 0$ 时，$\ln(1+x)\sim x$，分母 $\sim x^2$。 分子用等价无穷小：$(1+u)^k -1 \sim k u$，这里 $u = -\frac12 x^2$，$k=\frac23$，所以 $$ \left(1-\frac12 x^2\right)^{\frac23} -1 \sim \frac23 \cdot \left(-\frac12 x^2\right) = -\frac13 x^2 $$ 因此原极限 $$ \sim \frac{-\frac13 x^2}{x \cdot x} = -\frac13 $$ 难度：★★★★☆
最终答案： （1）$\sqrt{5}$ （2）$1$ （3）$0$ （4）$\frac12$ （5）$2$ （6）$\cos\alpha$ （7）$1$ （8）$-\frac13$