第1章 · 第1-9-4题

[AI解答]

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以下为各小题的极限求解过程：

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**(1)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$

由于 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0}$，且指数函数连续，故 $$ \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^{0} = 1. $$

难度：★☆☆☆☆

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**(2)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$

由重要极限 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}$，且对数函数连续，故 $$ \lim_{x \to 0} \ln \frac{\sin x}{x} = \ln 1 = 0. $$

难度：★☆☆☆☆

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**(3)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$

利用重要极限 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e}$，则 $$ \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = \left[\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}}. $$

难度：★☆☆☆☆

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**(4)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$

令 $t = \tan^2 x$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，且 $\cot^2 x = \frac{1}{t}$，于是 $$ \lim_{x \to 0} (1+3\tan^2 x)^{\cot^2 x} = \lim_{t \to 0} (1+3t)^{\frac{1}{t}} = e^3. $$

难度：★★☆☆☆

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**(5)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$

先化简： $$ \frac{3+x}{6+x} = 1 - \frac{3}{6+x}. $$ 令 $t = \frac{3}{6+x}$，当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，且 $x = \frac{3}{t} - 6$，则 $$ \frac{x-1}{2} = \frac{\frac{3}{t} - 7}{2} = \frac{3}{2t} - \frac{7}{2}. $$ 于是原极限为 $$ \lim_{t \to 0} (1 - t)^{\frac{3}{2t} - \frac{7}{2}} = \lim_{t \to 0} (1-t)^{\frac{3}{2t}} \cdot (1-t)^{-\frac{7}{2}}. $$ 由于 $\displaystyle{\lim_{t \to 0} (1-t)^{\frac{1}{t}} = e^{-1}}$，故 $$ \lim_{t \to 0} (1-t)^{\frac{3}{2t}} = e^{-\frac{3}{2}}, \quad (1-t)^{-\frac{7}{2}} \to 1. $$ 因此极限为 $e^{-\frac{3}{2}}$。

难度：★★★☆☆

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**(6)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^{2} x}-x}$

分子有理化： $$ \sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x} = \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}. $$ 分母提取 $x$： $$ x(\sqrt{1+\sin^2 x} - 1). $$ 利用等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，$\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$，$\sqrt{1+\sin^2 x} - 1 \sim \frac{\sin^2 x}{2} \sim \frac{x^2}{2}$，且分母中的和式趋于 $2$。 因此原极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2} / 2}{x \cdot \frac{x^2}{2}} = \frac{\frac{x^3}{4}}{\frac{x^3}{2}} = \frac{1}{2}. $$

难度：★★★☆☆

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**(7)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$

此为导数定义形式： $$ \lim_{x \to e} \frac{\ln x - \ln e}{x - e} = (\ln x)'\big|_{x=e} = \frac{1}{e}. $$

难度：★☆☆☆☆

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**(8)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}$

分子因式分解： $$ e^{3x} - e^{2x} - e^x + 1 = (e^x - 1)^2 (e^x + 1). $$ 分母：$\sqrt[3]{1-x^2} - 1$，当 $x \to 0$ 时，$\sqrt[3]{1-x^2} - 1 \sim -\frac{x^2}{3}$。 分子中 $(e^x - 1)^2 \sim x^2$，$e^x+1 \to 2$，故 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot 2}{-\frac{x^2}{3}} = -6. $$

难度：★★★☆☆

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**(9)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{2 x}}-1\right)$

令 $t = \frac{1}{x}$，则 $t \to 0$，原式化为 $$ \lim_{t \to 0} \frac{e^{\frac{t}{2}} - 1}{t} = \frac{1}{2}. $$

难度：★★☆☆☆

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**(10)** $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$

先化简：$\frac{x^2-1}{x-1} = x+1 \to 2$。 但 $\displaystyle{\lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{x-1}}}$ 不存在（左极限 $0$，右极限 $+\infty$），故原极限不存在。

难度：★★☆☆☆

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**综合难度评级**：大部分为基础题，少数需技巧，整体难度：★★☆☆☆