📝 题目
6．设函数
$$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0, \\ a+x, & x \geqslant 0 .\end{cases} $$
应当怎样选择数 $a$ ，才能使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要使 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续，只需检查分段点 $ x = 0 $ 处的连续性。 函数在 $ x = 0 $ 处连续的条件是：
$$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x). $$
分别计算：
左极限： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{x} = e^{0} = 1. $$
右极限： $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + x) = a. $$
函数在 $ x = 0 $ 处的值为： $$ f(0) = a + 0 = a. $$
因此，连续条件为： $$ 1 = a. $$
所以，当 $ a = 1 $ 时，$ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续。
难度：★☆☆☆☆