📝 题目
13．求曲线 $y=\cos x$ 上点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，曲线方程为 $y = \cos x$，求导得 $$ y' = -\sin x. $$ 在点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处，斜率为 $$ k_{\text{切}} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$ 切线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理得 $$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}. $$
法线斜率为切线斜率的负倒数，即 $$ k_{\text{法}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$ 法线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理得 $$ y = \frac{2}{\sqrt{3}}x - \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{2}. $$
难度：★☆☆☆☆