📝 题目
5．证明 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们需要利用导数的定义来证明 $(\cos x)' = -\sin x$。
由导数的定义： $$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}. $$
利用三角恒等式： $$ \cos(x+h) - \cos x = -2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right). $$
因此： $$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h}. $$
将分母 $h$ 改写为 $2 \cdot \frac{h}{2}$： $$ (\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{2 \cdot \frac{h}{2}} = \lim_{h \to 0} \left[ -\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right]. $$
当 $h \to 0$ 时，$\frac{h}{2} \to 0$，利用重要极限 $\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1}$，可得： $$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1. $$
同时，$\displaystyle{\lim_{h \to 0} \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) = \sin x}$。
因此： $$ (\cos x)' = -\sin x \cdot 1 = -\sin x. $$
证毕。
难度：★★☆☆☆