📝 题目
6．下列各题中均假定 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 $A$ 表示什么： （1） $\displaystyle{\lim} _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=A$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，其中 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在； （3） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{h}=A$ ． 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**题目 6（1）** 已知 $f'(x_0)$ 存在，求极限 $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A $$ 令 $t = -\Delta x$，则当 $\Delta x \to 0$ 时，$t \to 0$，且 $$ \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{-t} = -\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} $$ 因此 $$ A = \lim_{t \to 0} \left[ -\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} \right] = -f'(x_0) $$ 所以 $A$ 表示 $-f'(x_0)$。
**题目 6（2）** 已知 $f(0) = 0$ 且 $f'(0)$ 存在，求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A $$ 由导数定义： $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} $$ 因此 $$ A = f'(0) $$ 所以 $A$ 表示 $f'(0)$。
**题目 6（3）** 已知 $f'(x_0)$ 存在，求 $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = A $$ 将分子改写为 $$ f(x_0 + h) - f(x_0 - h) = [f(x_0 + h) - f(x_0)] - [f(x_0 - h) - f(x_0)] $$ 于是 $$ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h} $$ 对第二项令 $t = -h$，则 $$ \frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h} = \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{-t} = -\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} $$ 因此原极限为 $$ A = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = f'(x_0) + f'(x_0) = 2f'(x_0) $$ 所以 $A$ 表示 $2f'(x_0)$。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （本题仅需直接应用导数定义进行变量代换或拆分，属于基础题。）