📝 题目
7．设
$$ f(x)= \begin{cases}\frac{2}{3} x^{3}, & x \leqslant 1 \\ x^{2}, & x\gt 1\end{cases} $$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 ）． （A）左、右导数都存在 （B）左导数存在，右导数不存在 （C）左导数不存在，右导数存在 （D）左、右导数都不存在
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要判断函数在 $x=1$ 处的左、右导数是否存在，需要分别计算左导数和右导数。
函数定义为： $$ f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\frac{2}{3} x^{3}}, & x \leqslant 1 \$$1em] x^{2}, & x > 1 \end{cases} $$
**第一步：计算左导数** 左导数定义为： $$ f'_-(1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} $$ 当 $x \le 1$ 时，$f(x) = \frac{2}{3}x^3$，且 $f(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^3 = \frac{2}{3}$。 于是： $$ f'_-(1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{3}}{x-1} = \frac{2}{3} \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^3 - 1}{x-1} $$ 利用立方差公式 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，得： $$ \frac{2}{3} \lim_{x \to 1^{-}} (x^2 + x + 1) = \frac{2}{3} \cdot (1+1+1) = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 $$ 所以左导数存在，且 $f'_-(1)=2$。
**第二步：计算右导数** 右导数定义为： $$ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} $$ 当 $x > 1$ 时，$f(x) = x^2$，而 $f(1) = \frac{2}{3}$，因此： $$ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^2 - \frac{2}{3}}{x-1} $$ 检查分子：当 $x \to 1$ 时，$x^2 - \frac{2}{3} \to 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \neq 0$，分母趋于0，因此极限为无穷大（不存在有限值）。 更精确地，可以计算： $$ \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^2 - \frac{2}{3}}{x-1} = +\infty $$ 所以右导数不存在（无穷大不算存在有限导数）。
**第三步：结论** 左导数存在，右导数不存在，因此选择 **(B)**。
难度评级：★★☆☆☆ （基础题，只需掌握左右导数定义并正确代入计算即可）