📝 题目
5．求曲线 $y=2 \sin x+x^{2}$ 上横坐标为 $x=0$ 的点处的切线方程和法线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线方程为 $$ y = 2\sin x + x^{2} $$ 先求导数： $$ y' = 2\cos x + 2x $$ 当横坐标 $x = 0$ 时， $$ y(0) = 2\sin 0 + 0^{2} = 0 $$ $$ y'(0) = 2\cos 0 + 2\cdot 0 = 2 $$ 所以切点坐标为 $(0, 0)$，切线斜率为 $k = 2$。
切线方程为 $$ y - 0 = 2(x - 0) $$ 即 $$ y = 2x $$
法线斜率为切线斜率的负倒数： $$ k_{\text{法}} = -\frac{1}{2} $$ 法线方程为 $$ y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0) $$ 即 $$ y = -\frac{1}{2}x $$
因此，所求切线方程为 $y = 2x$，法线方程为 $y = -\dfrac{1}{2}x$。
难度：★☆☆☆☆