📝 题目
7．求下列函数的导数： （1）$y=\arcsin (1-2 x)$ ； （2）$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cos 3 x$ ； （4）$y=\arccos \frac{1}{x}$ ； （5）$y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ ； （6）$y=\frac{\sin 2 x}{x}$ ； （7）$y=\arcsin \sqrt{x}$ ； （8）$y=\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)$ ； （9）$y=\ln (\sec x+\tan x)$ ； （10）$y=\ln (\csc x-\cot x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** $y=\arcsin (1-2x)$ 令 $u=1-2x$，则 $y=\arcsin u$， $$ y' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u' = \frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2) $$ 化简： $$ 1-(1-2x)^2 = 1-(1-4x+4x^2)=4x-4x^2=4x(1-x) $$ 所以 $$ y' = \frac{-2}{\sqrt{4x(1-x)}} = -\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} $$
**（2）** $y=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^2)^{-1/2}$ $$ y' = -\frac12(1-x^2)^{-3/2}\cdot(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} $$
**（3）** $y=\mathrm{e}^{-x/2}\cos 3x$ 乘积法则： $$ y' = \mathrm{e}^{-x/2}\cdot(-\frac12)\cos 3x + \mathrm{e}^{-x/2}\cdot(-\sin 3x)\cdot 3 $$ $$ = \mathrm{e}^{-x/2}\left(-\frac12\cos 3x - 3\sin 3x\right) $$
**（4）** $y=\arccos\frac{1}{x}$ 令 $u=1/x$，则 $$ y' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) $$ 化简： $$ \sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|} $$ 所以 $$ y' = \frac{1}{x^2}\cdot\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$ 通常 $x>1$ 或 $x<-1$，可写为 $$ y' = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \quad (\text{当 }x>1) $$
**（5）** $y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ 商法则： $$ y' = \frac{(-\frac1x)(1+\ln x) - (1-\ln x)(\frac1x)}{(1+\ln x)^2} $$ 分子化简： $$ -\frac{1}{x}(1+\ln x) - \frac{1}{x}(1-\ln x) = -\frac{2}{x} $$ 所以 $$ y' = -\frac{2}{x(1+\ln x)^2} $$
**（6）** $y=\frac{\sin 2x}{x}$ 商法则： $$ y' = \frac{2\cos 2x \cdot x - \sin 2x \cdot 1}{x^2} = \frac{2x\cos 2x - \sin 2x}{x^2} $$
**（7）** $y=\arcsin \sqrt{x}$ 令 $u=\sqrt{x}$，则 $$ y' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} $$
**（8）** $y=\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$ $$ y' = \frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right) $$ 化简括号内： $$ 1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}} $$ 所以 $$ y' = \frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\cdot\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} $$
**（9）** $y=\ln(\sec x+\tan x)$ $$ y' = \frac{1}{\sec x+\tan x}\cdot(\sec x\tan x+\sec^2 x) $$ 分子提取 $\sec x$： $$ \sec x(\tan x+\sec x) $$ 所以 $$ y' = \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} = \sec x $$
**（10）** $y=\ln(\csc x-\cot x)$ $$ y' = \frac{1}{\csc x-\cot x}\cdot(-\csc x\cot x+\csc^2 x) $$ 分子提取 $\csc x$： $$ \csc x(-\cot x+\csc x) = \csc x(\csc x-\cot x) $$ 所以 $$ y' = \csc x $$
难度：★★☆☆☆