📝 题目
8．求下列函数的导数： （1）$y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （2）$y=\ln \tan \frac{x}{2}$ ； （3）$y=\sqrt{1+\ln ^{2} x}$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$ ； （5）$y=\sin ^{n} x \cos n x$ ； （6）$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ； （7）$y=\frac{\arcsin x}{\arccos x}$ ； （8）$y=\ln \ln \ln x$ ； （9）$y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ ； （10）$y=\arcsin \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的求导过程：
**(1)** $y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ 令 $u=\arcsin\frac{x}{2}$，则 $y=u^{2}$。 $$ \frac{dy}{dx}=2u\cdot\frac{du}{dx}=2\arcsin\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}} =\frac{2\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}. $$
**(2)** $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ $$ y'=\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\cdot\sec^{2}\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{\cos^{2}\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{\sin x}=\csc x. $$
**(3)** $y=\sqrt{1+\ln^{2}x}$ $$ y'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^{2}x}}\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x} =\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^{2}x}}. $$
**(4)** $y=\mathrm{e}^{\arctan\sqrt{x}}$ $$ y'=\mathrm{e}^{\arctan\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{x})^{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\mathrm{e}^{\arctan\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(1+x)}. $$
**(5)** $y=\sin^{n}x\cos nx$ $$ y'=n\sin^{n-1}x\cos x\cos nx+\sin^{n}x(-\sin nx)\cdot n =n\sin^{n-1}x\bigl(\cos x\cos nx-\sin x\sin nx\bigr) =n\sin^{n-1}x\cos(x+nx)=n\sin^{n-1}x\cos[(n+1)x]. $$
**(6)** $y=\arctan\frac{x+1}{x-1}$ $$ y'=\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}}\cdot\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}} =\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}+(x+1)^{2}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^{2}} =\frac{-2}{2x^{2}+2}=-\frac{1}{x^{2}+1}. $$
**(7)** $y=\frac{\arcsin x}{\arccos x}$ $$ y'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\arccos x-\arcsin x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)}{(\arccos x)^{2}} =\frac{\arccos x+\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}(\arccos x)^{2}} =\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-x^{2}}(\arccos x)^{2}}. $$
**(8)** $y=\ln\ln\ln x$ $$ y'=\frac{1}{\ln\ln x}\cdot\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x\ln x\ln\ln x}. $$
**(9)** $y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ 先化简：分子分母同乘共轭 $$ y=\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^{2}}{(1+x)-(1-x)}=\frac{2-2\sqrt{1-x^{2}}}{2x}=\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}. $$ 求导： $$ y'=\frac{-\frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot x-(1-\sqrt{1-x^{2}})}{x^{2}} =\frac{\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-1+\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} =\frac{x^{2}-\sqrt{1-x^{2}}+(1-x^{2})}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}. $$
**(10)** $y=\arcsin\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ $$ y'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1-x}{1+x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{2x}{1+x}}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\cdot\frac{-2}{(1+x)^{2}} =\frac{-1}{(1+x)^{2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{2x}}\cdot\frac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x}} =-\frac{1}{(1+x)\sqrt{2x(1-x)}}. $$
难度评级：★★★☆☆