📝 题目
9．设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，且 $f^{2}(x)+g^{2}(x) \neq 0$ ，试求函数 $y=\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}$ 的导数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $$ y = \sqrt{f^{2}(x) + g^{2}(x)} = \left( f^{2}(x) + g^{2}(x) \right)^{\frac{1}{2}} $$ 且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，$f^{2}(x) + g^{2}(x) \neq 0$。
我们使用链式法则求导。令 $$ u(x) = f^{2}(x) + g^{2}(x) $$ 则 $$ y = u^{\frac{1}{2}} $$ 于是 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ 先求 $\displaystyle{\frac{dy}{du}}$： $$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}} $$ 再求 $\displaystyle{\frac{du}{dx}}$： $$ \frac{du}{dx} = 2 f(x) f'(x) + 2 g(x) g'(x) $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}} \cdot \left[ 2 f(x) f'(x) + 2 g(x) g'(x) \right] $$ 化简得 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x) f'(x) + g(x) g'(x)}{\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}} $$ 由于分母不为零，结果成立。
难度：★★☆☆☆