📝 题目
＊12．求下列函数的导数： （1）$y=\operatorname{ch}(\operatorname{sh} x)$ ； （2）$y=\operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x}$ ； （3）$y=\operatorname{th}(\ln x)$ ； （4）$y=\operatorname{sh}^{3} x+\operatorname{ch}^{2} x$ ； （5）$y=\operatorname{th}\left(1-x^{2}\right)$ ； （6）$y=\operatorname{arsh}\left(x^{2}+1\right)$ ； （7）$y=\operatorname{arch}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ ； （8）$y=\arctan ($ th $x)$ ； （9）$y=\ln \operatorname{ch} x+\frac{1}{2 \operatorname{ch}^{2} x}$ ； （10）$y=\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细求导步骤，使用双曲函数与反双曲函数的求导公式。
**（1）** $y=\operatorname{ch}(\operatorname{sh} x)$ 令 $u=\operatorname{sh} x$，则 $y=\operatorname{ch} u$。 由链式法则： $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \operatorname{sh} u \cdot \operatorname{ch} x = \operatorname{sh}(\operatorname{sh} x) \cdot \operatorname{ch} x} $$
**（2）** $y=\operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x}$ 使用乘积法则： $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = (\operatorname{ch} x) \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x} + \operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x} \cdot \operatorname{sh} x = \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x} \left( \operatorname{ch} x + \operatorname{sh}^2 x \right)} $$
**（3）** $y=\operatorname{th}(\ln x)$ 令 $u=\ln x$，则 $y=\operatorname{th} u$， $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{ch}^2 u} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \operatorname{ch}^2(\ln x)}} $$
**（4）** $y=\operatorname{sh}^{3} x+\operatorname{ch}^{2} x$ 逐项求导： $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = 3\operatorname{sh}^2 x \cdot \operatorname{ch} x + 2\operatorname{ch} x \cdot \operatorname{sh} x = \operatorname{ch} x \left( 3\operatorname{sh}^2 x + 2\operatorname{sh} x \right)} $$
**（5）** $y=\operatorname{th}\left(1-x^{2}\right)$ 令 $u=1-x^2$，则 $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{ch}^2(1-x^2)} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{\operatorname{ch}^2(1-x^2)}} $$
**（6）** $y=\operatorname{arsh}\left(x^{2}+1\right)$ 反双曲正弦导数：$\displaystyle{\frac{d}{du}\operatorname{arsh} u = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}$， 令 $u=x^2+1$，则 $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+(x^2+1)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{x^4+2x^2+2}}} $$
**（7）** $y=\operatorname{arch}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ 反双曲余弦定义域要求 $u=\mathrm{e}^{2x} \ge 1$，导数公式：$\displaystyle{\frac{d}{du}\operatorname{arch} u = \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}}$， $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^{4x}-1}} \cdot 2\mathrm{e}^{2x} = \frac{2\mathrm{e}^{2x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{4x}-1}}} $$
**（8）** $y=\arctan (\operatorname{th} x)$ 令 $u=\operatorname{th} x$，则 $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = \frac{1}{1+\operatorname{th}^2 x} \cdot \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x}} $$ 利用恒等式 $1+\operatorname{th}^2 x = \frac{\operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x}{\operatorname{ch}^2 x} = \frac{\operatorname{ch} 2x}{\operatorname{ch}^2 x}$，因此 $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\operatorname{ch} 2x}} $$
**（9）** $y=\ln \operatorname{ch} x+\frac{1}{2 \operatorname{ch}^{2} x}$ 逐项求导： 第一项：$\displaystyle{\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{ch} x) = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} = \operatorname{th} x}$ 第二项：令 $u=\operatorname{ch} x$，则 $\displaystyle{\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2} u^{-2} \right) = \frac{1}{2} \cdot (-2) u^{-3} \cdot \operatorname{sh} x = -\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch}^3 x}}$ 所以 $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \operatorname{th} x - \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch}^3 x}} $$
**（10）** $y=\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ 令 $u=\frac{x-1}{x+1}$，则 $y=\operatorname{ch}^2 u$， $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = 2\operatorname{ch} u \cdot \operatorname{sh} u \cdot \frac{du}{dx} = \operatorname{sh}(2u) \cdot \frac{du}{dx}} $$ 而 $$ \displaystyle{\frac{du}{dx} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}} $$ 因此 $$ \displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2} \operatorname{sh}\left( \frac{2(x-1)}{x+1} \right)} $$
难度：★★☆☆☆