📝 题目
1．求下列函数的二阶导数： （1）$y=2 x^{2}+\ln x$ ； （2）$y=\mathrm{e}^{2 x-1}$ ； （3）$y=x \cos x$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{-t} \sin t$ ； （5）$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ； （6）$y=\ln \left(1-x^{2}\right)$ ； （7）$y=\tan x$ ； （8）$y=\frac{1}{x^{3}+1}$ ； （9）$y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x$ ； （1）记号 $\displaystyle{\sum}$ 表示对同一类型诸项求和。例如，$\displaystyle{\sum}_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{n-k} v^{k}$ 表示在 $\mathrm{C}_{n}^{k} u^{n-k} v^{k}$ 中依次令 $k=0,1, \cdots, n$ ，然后对这样得到的 $n+1$ 项求和． （10）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ ； （11）$y=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （12）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题二阶导数的求解过程。
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### （1）$y = 2x^{2} + \ln x$
一阶导数： $$ y' = \displaystyle{\frac{d}{dx}}(2x^2) + \displaystyle{\frac{d}{dx}}(\ln x) = 4x + \frac{1}{x} $$
二阶导数： $$ y'' = \displaystyle{\frac{d}{dx}}(4x) + \displaystyle{\frac{d}{dx}}\left(\frac{1}{x}\right) = 4 - \frac{1}{x^{2}} $$
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### （2）$y = e^{2x-1}$
一阶导数： $$ y' = e^{2x-1} \cdot 2 = 2e^{2x-1} $$
二阶导数： $$ y'' = 2 \cdot e^{2x-1} \cdot 2 = 4e^{2x-1} $$
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### （3）$y = x \cos x$
一阶导数（乘积法则）： $$ y' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x\sin x $$
二阶导数： $$ y'' = -\sin x - [1\cdot \sin x + x\cos x] = -\sin x - \sin x - x\cos x = -2\sin x - x\cos x $$
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### （4）$y = e^{-t} \sin t$
一阶导数（乘积法则）： $$ y' = (-e^{-t})\sin t + e^{-t}\cos t = e^{-t}(\cos t - \sin t) $$
二阶导数（再用乘积法则）： $$ y'' = (-e^{-t})(\cos t - \sin t) + e^{-t}(-\sin t - \cos t) = e^{-t}[-\cos t + \sin t - \sin t - \cos t] = -2e^{-t}\cos t $$
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### （5）$y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}$
一阶导数： $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} $$
二阶导数（商法则或改写为幂函数）： $$ y'' = -\frac{1\cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}} - x \cdot \frac{-x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}}{a^{2} - x^{2}} = -\frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}}{a^{2} - x^{2}} = -\frac{a^{2} - x^{2} + x^{2}}{(a^{2} - x^{2})^{3/2}} = -\frac{a^{2}}{(a^{2} - x^{2})^{3/2}} $$
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### （6）$y = \ln(1 - x^{2})$
一阶导数： $$ y' = \frac{-2x}{1 - x^{2}} $$
二阶导数（商法则）： $$ y'' = \frac{-2(1 - x^{2}) - (-2x)(-2x)}{(1 - x^{2})^{2}} = \frac{-2 + 2x^{2} - 4x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} = \frac{-2 - 2x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} = -\frac{2(1 + x^{2})}{(1 - x^{2})^{2}} $$
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### （7）$y = \tan x$
一阶导数： $$ y' = \sec^{2} x $$
二阶导数： $$ y'' = 2\sec x \cdot \sec x \tan x = 2\sec^{2} x \tan x $$
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### （8）$y = \frac{1}{x^{3} + 1}$
一阶导数： $$ y' = -\frac{3x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} $$
二阶导数（商法则）： $$ y'' = -\frac{6x(x^{3}+1)^{2} - 3x^{2} \cdot 2(x^{3}+1)\cdot 3x^{2}}{(x^{3}+1)^{4}} = -\frac{6x(x^{3}+1) - 18x^{4}}{(x^{3}+1)^{3}} = -\frac{6x^{4} + 6x - 18x^{4}}{(x^{3}+1)^{3}} = -\frac{-12x^{4} + 6x}{(x^{3}+1)^{3}} = \frac{12x^{4} - 6x}{(x^{3}+1)^{3}} = \frac{6x(2x^{3} - 1)}{(x^{3}+1)^{3}} $$
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### （9）$y = (1 + x^{2})\arctan x$
一阶导数（乘积法则）： $$ y' = 2x \arctan x + (1+x^{2})\cdot\frac{1}{1+x^{2}} = 2x\arctan x + 1 $$
二阶导数： $$ y'' = 2\arctan x + 2x\cdot\frac{1}{1+x^{2}} = 2\arctan x + \frac{2x}{1+x^{2}} $$
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### （10）$y = \frac{e^{x}}{x}$
一阶导数（商法则）： $$ y' = \frac{e^{x}x - e^{x}}{x^{2}} = \frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}} $$
二阶导数（商法则）： $$ y'' = \frac{[e^{x}(x-1) + e^{x}]x^{2} - e^{x}(x-1)\cdot 2x}{x^{4}} = \frac{e^{x}x \cdot x^{2} - 2x e^{x}(x-1)}{x^{4}} = \frac{e^{x}(x^{2} - 2x + 2)}{x^{3}} $$
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### （11）$y = x e^{x^{2}}$
一阶导数（乘积法则）： $$ y' = e^{x^{2}} + x \cdot 2x e^{x^{2}} = e^{x^{2}}(1 + 2x^{2}) $$
二阶导数： $$ y'' = 2x e^{x^{2}}(1+2x^{2}) + e^{x^{2}}(4x) = e^{x^{2}}(2x + 4x^{3} + 4x) = e^{x^{2}}(6x + 4x^{3}) $$
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### （12）$y = \ln\left(x + \sqrt{1+x^{2}}\right)$
一阶导数： $$ y' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x + \sqrt{1+x^{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{1+x^{2}} + x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x + \sqrt{1+x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} $$
二阶导数： $$ y'' = -\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-3/2} \cdot 2x = -\frac{x}{(1+x^{2})^{3/2}} $$
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难度评级：★★☆☆☆ （均为基本初等函数复合与四则运算求二阶导，计算量不大，但需细心）