📝 题目
3．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 存在，求下列函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=\ln [f(x)]$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 已知 $ y = f(x^2) $，且 $ f''(x) $ 存在。
首先求一阶导数： $$ \frac{dy}{dx} = f'(x^2) \cdot 2x = 2x f'(x^2) $$
再求二阶导数，使用乘积法则： $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ 2x f'(x^2) \right] = 2 f'(x^2) + 2x \cdot f''(x^2) \cdot 2x $$ $$ = 2 f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2) $$
因此： $$ \boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)} $$
---
**（2）** 已知 $ y = \ln[f(x)] $，且 $ f''(x) $ 存在。
一阶导数： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} $$
二阶导数，使用商法则： $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{f''(x) f(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2} $$
因此： $$ \boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{f(x) f''(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2}} $$
---
难度：★★☆☆☆