📝 题目
7．假设质点沿 $x$ 轴运动的速度为 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=f(x)$ ，试求该质点运动的加速度．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
已知质点沿 $x$ 轴运动的速度为 $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = f(x) $$ 加速度定义为速度对时间的变化率，即 $$ a = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \right) $$ 这里 $v = f(x)$，而 $x$ 本身是 $t$ 的函数，因此需要用链式法则：
$$ a = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} $$ 代入 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = f(x)$，得 $$ a = f'(x) \cdot f(x) $$ 即 $$ a = f(x) \, f'(x) $$ 也可以写成 $$ a = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[ f(x)^2 \right] $$ 这是另一种常见表达形式。
因此，质点运动的加速度为 $$ \boxed{a = f(x) f'(x)} $$
难度：★☆☆☆☆