📝 题目
8．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x} \cos x, & x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 试选择常数 $a, b, c$ ，使 $f(x)$ 具有二阶导数．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要使 $ f(x) $ 具有二阶导数，首先需要 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续，其次一阶导数存在且连续，最后二阶导数存在且连续。因此我们分别从连续性、一阶导数连续性、二阶导数连续性入手。
**第一步：连续性条件** 由 $ x \leq 0 $ 时 $ f(x) = e^x \cos x $，得 $$ f(0) = e^0 \cos 0 = 1. $$ 由 $ x > 0 $ 时 $ f(x) = a x^2 + b x + c $，得 $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = c. $$ 连续性要求 $$ c = 1. $$
**第二步：一阶导数存在且连续** 当 $ x < 0 $ 时， $$ f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x). $$ 于是 $$ f'(0^-) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1. $$ 当 $ x > 0 $ 时， $$ f'(x) = 2a x + b, $$ 所以 $$ f'(0^+) = b. $$ 一阶导数在 $ x=0 $ 处存在要求左右导数相等： $$ b = 1. $$
**第三步：二阶导数存在且连续** 对 $ x < 0 $， $$ f''(x) = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x. $$ 于是 $$ f''(0^-) = -2 e^0 \sin 0 = 0. $$ 对 $ x > 0 $， $$ f''(x) = 2a, $$ 所以 $$ f''(0^+) = 2a. $$ 二阶导数在 $ x=0 $ 处存在要求 $$ 2a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 0. $$
**第四步：结论** 综上，我们得到 $$ a = 0,\quad b = 1,\quad c = 1. $$ 此时 $$ f(x) = \begin{cases} e^x \cos x, & x \leq 0,\\ x + 1, & x > 0, \end{cases} $$ 经验证，该函数在 $ x=0 $ 处具有二阶导数。
难度：★★☆☆☆